Sistemas Dinâmicos Lineares - Parte I

São sistemas cuja dinâmica é representada por equações diferenciais de primeira ordem.
O engenheiro então fornece, através de seus conhecimentos, uma lei de controle possam cumprir certos objetivos de desempenho:

1. Erro estático: É o limite do erro para uma entrada. É razoável querer que o erro (e(t)) tenda a zero.
2. Tempo de subida (tr): Tempo em que a saída demorar para atingir (reach) 100% do seu valor final.
3. Tempo de assentamento (ts): É o instante de tempo em que o erro e(t) é menor do que um certo valor percentual escolhido pelo projetista, geralmente 2% ou 5%.
4. Máximo sobresinal (Mp): É o maior erro percentual em relação ao valor final.

Os principais problemas na vida de um engenheiro que trabalha com Controle, entre outras coisas, são fatores que atrapalham todo o projeto do controlador, tal qual:

• Complexidade do próprio controlador: Concerne na própria fabricação quanto sua complexidade matemática.
• Não linearidades em atuadores: Os atuadores podem apresentar comportamento não linear, cuja modelagem pode se tornar muito dificíl, até impossível se usar apenas o tratamento linear.
• Sinais de distúrbio: Os sinais de controle sofrem distúrbios, geralmente atrito e folgas. Por exemplo, numa modelagem de controle de uma embarcação, as ondas do mar entram como um distúrbio no sistema, já que são aleatórias e não previstas nas equações diferenciais. Por isso é necessário o conceito de robustez, ou seja, o sistema será controlado mesmo na presença de distúbios.
• Erros de modelagem: Como na grande maioria dos casos, faz-se aproximações da planta real, o que causa um erro de modelagem, que na verdade sempre estará presente em qualquer projeto real. Geralmente elimina-se os termos não lineares para fazer a simplificação do modelo.
• Ruído de medida: No uso de sensores, tem-se ruídos de alta frequência, atrapalhando na leitura e comprometendo a qualidade do controle.
  
  

A figura ilustra um típico sistema de controle em malha fechada. Esse tipo de malha é largamente utilizada, pois se tem a medida do erro, tanto quanto sua desejada redução.

Equação diferencial geral de um Sistema Linear de Primeira Ordem:

Em que y(t) e u(t) é a saída e a entrada do sistema respectivamente.

• Função de Transferência

Aplicando a Transformada de Laplace na Equação Diferencial, assumindo condições iniciais nulas:

• Polos e Zeros do Sistema
  
  

• Diagrama de Pólos e Zeros
  
  
  
   
• Ganho
  
  O ganho (g) é a relação entre o valor final da saída e o valor final da entrada, para qualquer tipo de entrada. É definida por: