O Sistema Massa-Mola-Amortecedor

Equação Dinâmica

Isolando a segunda derivada

Colocando o sistema na forma de Espaço de Estados

Em ambiente Matlab/Simulink e escolhendo m=2, b=0.1 e k=5, podemos verificar a resposta temporal da posição e da velocidade a uma entrada impulso:

Analisando esse sistema no Plano de Fases, isto é, plotando a resposta no espaço de estados, este formado por uma base de variáveis de estado, neste caso B=[x1,x2]. Obtemos:

Vemos que o sistema tende a posição de equilibrio no decorrer do tempo. A dissipação de energia no amortecedor é que provoca esse efeito. Temos que a energia potencial do sistema é sempre positiva e descresce ao longo do tempo, logo temos que a função da energia potencial V(x) é uma função de Lyapunov. Então o sistema é estável.

Podemos tirar essa mesma conclusão analisando sua Função de Transferência

Diagrama de Polos e Zeros

Pelo diagrama vemos que os polos do sistema estão do lado esquerdo do plano complexo. Isso caracteriza um sistema estável. Se pelo menos um polo tivesse do lado direito, o sistema seria instável. Além disso, vemos que os polos são complexos conjugados, caracterizando uma resposta temporal oscilatória. Se fosse estritamente real, sem parte complexa, a resposta seria exponencial.

Implementação no Matlab/Simulink